Also ich hatte bis jetzt immer nur ne webspace und kannte das mit servern gar nicht. Jetzt habe ich gehört das Server viel besser sein solen. Nur wo drin? Ist doch eigentlich egal ob es ein Server oder ne Webspace ist, oder?

Wenn du dir einen eigenen (virtual) Server mietest, hast du wesentlich mehr Möglichkeiten und bist nicht an eventuelle Einschränkungen der Serversoftware gebunden, wenn dir lediglich Webspace zur Verfügung gestellt wird. Ich nehme einfach mal an, dass du mit 'nem eigenen Server sowieso nicht allzuviel anfangen könntest...

Ich erläutere mal schnell den Unterschied:
Bei Webspace hast du lediglich etwas Speicherplatz auf einem Server, welcher dir gehört. Du darfst einige installierte Anwendungen auf diesem Server benutzen, wie den HTTP-Server, meist auch einen FTP-Server, PHP, MySQL und oft auch entsprechende Konfigurationstools (fast immer über ein Webinterface). Das ist vergleichbar mit einem Hotel, in welchem du ein Zimmer mietest: Alles ist schon da, du darfst es verwenden, aber nix neues reinstellen oder verändern.
Ein virtual Server ist eher wie eine Mietwohnung. Auf ihn kannst du meist via SSH zugreifen und eigene Software installieren. Z.B. kannst du den HTTP-Server austauschen, andere Anwendungen installieren und so weiter. Du ziehst quasi ein, darfst aber das Mobiliar wechseln, wenn dir danach ist oder die Wände neu streichen. Das Haus ist der Rechner und die einzelnen vServer sind parallellaufende Betriebssysteme, welche den Wohnungen entsprechen.
Bei einem "richtigen" Serverrechner, also einem physischem Host, steht dir das ganze Haus zur Verfügung :>

Beim Begriff "Server" musst du auch vorsichtig sein. Es kann einerseits eine spezielle Art von Software sein, die einen Dienst bietet, welche über die entsprechende Client-Software beansprucht werden kann (bswp. HTTP, FTP, IRC) andererseits kann damit auch der Rechner gemeint sein (Host) auf welchem diese Software läuft.

Also könnte ioch meinen Rechner auch zu einem Server machen?

Natürlich.
Die Probleme wären jedoch
- er müsste ständig online sein
- die upload Bandbreite sollte entsprechend hoch bei dir sein

Bei jedem IP Wechsel muss natürlich die Domain aktualisiert werden. Gibt für sowas automatische Updater. Sei zudem darauf vorbereitet, dass man so immer deine IP Adresse kennt! Gut sichern die Kiste.

Gut der PC könnte nachmittags online sein.
Wie richte ich sowas ein? Also kostenlos natürlich

Als Server nimmst du am besten einen Apache. Der ist kostenlos und weit verbreitet, du findest also schnell Hilfe, wenn du Probleme hast. Damit du dich nicht großartig mit Einstellungen aufhalten musst, grapsch dir ein all-in-one Paket, wie zum Beispiel XAMPP oder WAMP_(e-novative). Das ist ein HTTP-Server, PHP und MySQL schon aufeinander abgestimmt.

Mit der Domain wird's jetzt aber fast schwieriger. Gratis kriegst du nichts hübsches ;) Also weichst du am geschicktesten auf eine DynDNS aus. Mit einem entsprechenden Client Programm wird ständig dein DNS-Eintrag mit deiner aktuellen IP-Adresse aktualisiert. Einfach mal etwas googlen.

eine letzte Frage hätte ich noch.
Ist das sicher?

Das kommt ganz auf dich an und wie du dein System sicherst ;)
Ein Problem ist, dass deine IP-Adresse somit immer bekannt ist. Das heißt, wenn du sowieso schon irgendwelche Türen offen stehen hast, wird man dich immer finden und diese ausnutzen können. Auch bei einem gut gesicherten System könntest du versehentlich selbst Sicherheitslücken einbauen. Gerade bei Anfängern kommt es ab und zu vor, dass man über ihre PHP-Scripts eigene Befehle ausführen kann.